LES MILLIONS DE DOLLARS offerts par le Clay Mathematics Institute ne doivent pas faire tourner les têtes. Les énigmes proposées ne sont pas pour les amateurs. Pas de problèmes de robinets qui fuient ou de trains qui se croisent. Le vocabulaire des énoncés est apparemment simple mais le contenu inaccessible au profane. De ces sept énigmes une seule était déjà présente dans les défis présentés de Hilbert : l'hypothèse de Riemann relative à la distribution des nombres premiers parmi les entiers. Ces nombres ayant la particularité de n'être divisibles que par un ou par eux-mêmes sont essentiels à l'établissement des clés cryptographiques. Les autres problèmes concernent :

La conjecture de Poincaré : si l'on trace une courbe fermée, qui ne se recoupe pas à la surface d'un ballon et que l'on découpe ensuite ce ballon le long de cette courbe, on obtient deux morceaux différents. Cela n'est pas toujours le cas pour des surfaces plus compliquées comme une chambre à air de vélo (tore). Les mathématiciens disent alors que la sphère - le ballon - est simplement connexe. Or il est facile de démontrer que toute surface de ce type qui est finie (c'est-à-dire qu'on peut enfermer dans une boîte), et sans bord, est forcément la surface d'un objet sphérique. La conjecture de Poincaré stipule que cela continue d'être vrai si l'on passe des surfaces à deux dimensions aux espaces à trois dimensions.

La conjecture de Hodge : au XXe siècle, ont été découvertes des façons efficaces d'étudier la géométrie des objets complexes à partir d'assemblages de formes géométrique simples de dimension croissante. Cette technique puissante à permis de créer une multitude d'outils connus sous le nom de Théories de Cohomologie qui ont permis de faire d'énormes progrès dans la classification des objets mathématiques. Malheureusement, les origines géométriques de la théorie ont disparu au fur et à mesure que s'y ajoutaient des éléments qui n'ont plus rien à voir avec la géométrie. La conjecture de Hodge suggère que certains objets mathématiques peuvent être interprétés comme une combinaison de formes géométriques d'origine algébrique.

La conjecture de Birch Swinnerton-Dyer : le problème consistant à trouver des solutions aux équations du type x2 + y2 = z2 où x, y et z sont des nombres entiers est un terrain de jeu apprécié des mathématiciens. Toutes les solutions de l'équation ci-dessus se décrivent facilement. Mais pour des polynômes plus compliqués, c'est extrêmement difficile. Il n'y a pas de méthode générale pour trouver les solutions. Mais la conjecture de Birch Swinnerton-Dyer pourrait apporter des réponses sur certaines de ces équations appelées Courbes elliptiques de Genre Un.

Le problème P vs NP : c'est samedi soir et vous arrivez dans une soirée. Combien de personnes y connaissez-vous déjà ? L'hôtesse vous informe que vous connaissez sans doute Julie, la femme qui se trouve là-bas, près de la table du fond. Mais, si elle ne vous dit rien, vous devez aller voir chaque personne, une par une. C'est ce type de problématique que les mathématiciens veulent résoudre : à savoir que parfois la recherche de la solution prend plus de temps que de vérifier l'exactitude de la solution.

Les équations de Navier-Stokes : ces équations qui datent du XIXe siècle gouvernent la mécanique des fluides liée aux problèmes de turbulences aérodynamiques qui affectent les avions ou aux phénomènes météorologiques. Or la compréhension que nous avons des solutions données par ces équations reste minime.

Les équations de Yang-Mills : les lois de la physique quantique jouent aux échelles microscopiques un rôle analogue à celui des lois de Newton qui régissent la mécanique classique du monde macroscopique. Il y a près d'un demi-siècle, deux physiciens, Yang et Mills, ont découvert une relation étonnante entre les particules élémentaires et la géométrie des « espaces fibrés ». Les prédictions de ces équations sont vérifiées quotidiennement dans les accélérateurs de particules. Mais il n'y a pourtant aucune preuve mathématique de l'existence des champs quantiques gouvernés par les équations de Yang-Mills.