02-01-2005 02:14

eh, dan lx, pense à dire à fleming quelle note il a eu!!!!

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| IP: Logguée

02-01-2005 02:16

Grandiose! merci

| IP: Logguée

02-01-2005 02:20

oki pour la note

Merci du coup de main! oxmo c'est géniale! c'est quand qu'on ouvre une section dm? A moi d'être plus sérieux à présent enfin là je peux déjà voir comment c'est fait et comprendre

| IP: Logguée

02-01-2005 02:48

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Les tôles ondulées mais les vaches aussi.

| IP: Logguée

02-01-2005 02:51

je fatigue (désolé s'il y a des erreurs), il faudrait une relecture de Zakath, je te laisse terminer...

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Les tôles ondulées mais les vaches aussi.

| IP: Logguée

02-01-2005 03:23

Très bien! merci, pour le temps passer dessus, bravo! Moi aussi je vais aller me coucher, ah les maths de quoi devenir

| IP: Logguée

02-01-2005 09:51

Moi c'est surtout l'heure à laquelle Fleming à tapé tout ça qui m'épate !
Ou alors c'est justement à cette heure-ci, une heure assez démente, que l'on peut écrire ce genre de trucs

Taxi driver a raison, Fleming mérite une standing ovation !

mister Fleming !

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| IP: Logguée

02-01-2005 10:08

et beh bravo à flemming !

| IP: Logguée

02-01-2005 10:15

Flemming, tu es IMPRESSIONNANT

à 2h00 du math (jeu de mot) , il est vraiment balaise de chez balaise le FLEMING

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Best of
>>sarkozy chierait sur la table après le repas que la plupart d'entre vous s'extasierait : "ah bah c'est bien, il a bien mangé !"<< "Schoubi"
>>... que j'ai envie de faire pipi ... (Morpheus sort de mon corps!) << "Polkaïna"
>>Pourquoi ? t'as quelque chose contre les potes âgés ? <<"fleming"

| IP: Logguée

02-01-2005 12:02

Bravo à fleming !

| IP: Logguée

02-01-2005 12:05

chapeau

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ludovike

| IP: Logguée

02-01-2005 12:17

Je propose que le statut de fleming deviennent Dr Guru Donkey.

Mr l'administrateur?

| IP: Logguée

02-01-2005 12:42

c'est reparti !

4) a) je retrouve pas la méthode simple, je me souviens juste que le DL de ln(1+x) au voisinage de 0 est:
ln (1+x) = x - 1/2 x^2 + 1/3 x^3 - 1/4 x^4 ...

avec ça, on doit arriver à montrer :

pour x> = 0, x-1/2 x^2 <= ln (1+x) <= x




edit: je suis bête, il y a plus simple:
tu poses f(x)= x - ln (1+x), la dérivée après calcul est f'(x)=x/(1+x) >=0 sur R+
donc f croissante sur R+ ; or f(0)=0, donc f(x) >=0 qqs x>=0, d'où ln(1+x) <= x (A)

de même, tu poses g(x)=ln (1+x) - (x+1/2 x^2)
on trouve g'(x) = x^2 / (1+x) >=0 pour x>=0, donc g croissante sur R+ ; or g(0)=0, donc g(x)>=0 qqs x>=0, d'où x-1/2 x^2 <= ln (1+x) (B)

en regroupant (A) et (B) : pour x> = 0, x-1/2 x^2 <= ln (1+x) <= x CQFD



b) d'après a) : comme k/n^2 >=0 qqs k>=0, on a pour n fixé>=0:

k/n^2 - 1/2 (k/n^2)^2 <= ln (1+ k/n^2) <= k/n^2
soit k/n^2 - 1/2 (k^2/n^4) <= ln (1+ k/n^2) <= k/n^2

en passant à la somme: qqsn>=0 (n fixé)

Somme (k= 1 à n) [k/n^2 - 1/2 (k^2/n^4) ] <= Somme (k= 1 à n) [ ln (1+ k/n^2)] <= Somme (k= 1 à n) [ k/n^2]


1/n^2 Somme (k= 1 à n) [k] - 1/2n^4 Somme[k^2] <= Sn <= 1/n^2 Somme (k= 1 à n) [ k]

or (on a déjà vu avec la formule de la somme pour suite arithmétique) que
Somme (k= 1 à n) [ k] = n(n+1)/2
et que Somme (k= 1 à n) [ k^2] = n(n+1)(2n+1)/6 (d'après question 2b) (on partait de p=0 et ici de k=1 mais ça ne change rien car pour p=0 le terme p^2 est nul)

d'où après calcul:
[(n+1)/2n] - [(n+1)(2n+1)/12n^3] <= Sn <= (n+1) / 2n

soit encore:

[(n+1) (6n^2 - 2n -1)] / 12n^3 <= Sn <= (n+1) / 2n

c) en faisant tendre n vers +inf, avec le théorème des "gendarmes", tu montres facilement que lim Sn = 1/2
en effet le membre de gauche y est équivalent à 6n^3/12n^3 (en "gardant" les monômes de plus haut degré) soit 1/2 et celui de droite à n/2n soit aussi 1/2...

on voit que Vn = S(n-1) (1 + 1/n)
soit Vn = S(n-1) + 1/n S(n-1)

en faisant tendre n vers + inf, le second terme tend vers 0 ( à cause de 1/n),
donc lim Vn = lim S(n-1) = 1/2

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Les tôles ondulées mais les vaches aussi.

Edité par fleming le 02-01-2005 à 16:38

| IP: Logguée

02-01-2005 13:10

5) a)

V1 = 1/1 + 1/(1+1) + 1/(1+2) + 1/ (1+3) (on s'arrête là car 2n+1 = 3 pour n=1) (ce qui est dur c'est que l'arrêt donc le nombre de termes dépen de n)
soit V1 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = ... fais le calcul

de même v2 = 2/4 + 2/(4+1) + 2/(4+2) + 2/ (4+3) + 2/(4+4)+ 2 / (4+5) (on s'arrête là car 2n+1 = 5 pour n=2)

soit v2= 1/2 + 2/5 + 1/3 + etc... fais le calcul

b) en fait Vn est la somme de 2n+2 termes (car les dénominateurs sont de la forme n^2+ k, k variant de 0 à 2n+1)


c) Vn = Somme (pour k de 0 à 2n+1) [n/ (n^2+k)]


d) comme k>=0, on a : n^2+k > = n^2
donc 1/ (n^2+k) < = 1/ n^2
en passant à la somme (n fixé), Somme (pour k de 0 à 2n+1) [1/ (n^2+k)] <= Somme (pour k de 0 à 2n+1) [1/ (n^2)]
et en multipliant par n (fixé) : Somme (pour k de 0 à 2n+1) [n/ (n^2+k)] (cad Vn) <= n x Somme (pour k de 0 à 2n+1) [1/ (n^2)]
soit encore Vn <= (n / n^2 )x Somme (pour k de 0 à 2n+1) [1] (tu peux "sortir" n^2 car n est fixe, seul k varie)
d'où Vn <= (n / n^2 ) x (2n+2)
Vn <= 2n(n+1) / n^2
Vn <= 2(n+1) / n (A)

de même, comme k<= 2n+1, n^2+k <= n^2+2n+1
soit encore : n^2+k <= (n+1)^2
en passant à l'inverse 1 / (n^2+k) >= 1/ [(n+1)^2]
d'où Vn >= n x Somme (pour k de 0 à 2n+1) [1/ ((n+1)^2)]
tu "sors" tout car n est fixe, donc Vn >= n / ((n+1)^2) x Somme (pour k de 0 à 2n+1) [1]
Vn >= n / ((n+1)^2) x (2n+2)
Vn >= 2n(n+1) / ((n+1)^2)
Vn >= 2n / (n+1) (B)

en regroupant (A) et (B), tu as bien l'encadrement voulu CQFD.



e) après la e) est facile, avec le théorème des "gendarmes" (ou théorème du sandwich"):
lim [2n / (n+1)] = lim (2n/n) = 2 (car la lim d'un polynôme est celle de son monôme de plus haut degré)
et lim [2(n+1)/n] = lim (2n/n]= 2 aussi , donc d'après l'encadrement du d) on a lim Vn = 2





voilà. bon courage pour la rédaction... (en fait c'était pas aussi chiant à faire qu'à taper ! ) ça m'a rappelé ma jeunesse et j'aurais fait ma BA de 2005, comme ça je suis débarassé !
tu es en quelle classe au fait ? par curiosité...

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Les tôles ondulées mais les vaches aussi.

Edité par fleming le 02-01-2005 à 17:15

| IP: Logguée

02-01-2005 13:35

fleming

Tu peux faire la même chose pour un devoir sur les lignes de transmission ?

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Maintenant, vous savez

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