Le Thread des Taupins

PC*

Ca fait un bail que je n'ai pas fait d'intégrales, j'ai une proposition pour ton calcul, mais je ne sais pas si c'est rigoureux...
(PC* en 96/97, ça fait un bail !!!)

Une petite intégration par parties :

u' = 1/x²

v = ln(1-x²)

u = -1/x

v ' = -2x/(1-x²)

I = int(u'.v) = [u.v] - int(u.v')

I = [-1/x*ln(1-x²)] - int(1/(1-x²))
I = [-1/x*ln(1-x²)] - 2[Argth(x)]
I = [-1/x*ln(1-x²)] - 2[1/2 ln((1+x)/(1-x))]
I = -[1/x*ln((1-x)(1+x)) + ln((1+x)/(1-x))]
I = -[1/x*(ln((1-x)+ln(1+x)) + ln(1+x) - ln(1-x)]
I = -[( 1/x + 1 )ln(1+x) + ( 1/x - 1)ln(1-x)]

I = -([f(x)] + [g(x)])

f(1)= 2ln(2) = ln(4)

en 0 ln(1+x) = x donc f(x) = 1+x donc f(0) = 1

[f(x)] = f(1) - f(0) = ln(4) - 1

en 0 ln(1-x) = -x donc g(x) = -1+x donc g(0) = -1

en 1 g(x) à la même limite que x*ln(x) en 0 donc g(1) = 0

[g(x)] = g(1) - g(0) = 0 - (-1) = 1

et donc I = - ln(4)

Le résultat semble juste... Le signe "=" ayant parfois le sens de limite, ou de developpement limité.