[HISTOIRE] Zénon d'élée et les paradoxes

Zénon d'Élée.

Il naquit vraisemblablement au commencement du V° siècle (vers 490 av. J. C.). Parménide, reconnaissant ses talents, en aurait fait son fils adoptif. Zénon étudia la physique, les mathématiques et l'astronomie. Excellent polémiste, il passe pour être l'inventeur de la dialectique selon Aristote. Il eut de nombreux élèves comme Mélissos et Empédocle. Il paya de sa vie sa passion pour la politique : Zénon aurait en effet ourdi une conspiration contre le dictateur Néarque. Démasqué, il fut enchaîné et torturé. Refusant de parler, il se serait coupé la langue en la mordant. Alors Néarque ordonna qu'on le pile dans un mortier pour le réduire en petits morceaux.
Zénon est surtout connu pour ses paradoxes qui visent à montrer l'impossibilité du mouvement. Ils reposent en grande partie sur l'idée que les notions de divisibilité et de grandeurs indivisibles sont inadmissibles parce que contradictoires. Le nombre n'est ni indivisible, ni divisible à l'infini. Cette thèse permettra de mettre fin à la notion archaïque de nombre comme doué d'épaisseur et conçu comme un point (contre Pythagore), ce qui donnera une base plus saine aux mathématiques.
Les quatre célèbres paradoxes de Zénon suivent le même processus logique : il s'agit, en partant de certitudes, de suivre un itinéraire logique pour conduire à des conclusions impossibles :

Premier paradoxe : supposons un coureur qui désire aller d'un point A à un point B. Il ne pourra atteindre le point B sans passer d'abord par un point C, milieu de AB. Pour atteindre ce point C, il doit d'abord passer par un point D, milieu de AC et ainsi de suite. Comme un segment de droite peut être divisé à l'infini, pour arriver en B notre homme devra passer par un nombre infini de points, ce qui lui prendra un temps infini. Il n'arrivera donc jamais à destination.

Second paradoxe : on suppose une course entre Achille qu'Homère surnomma "au pied léger" en vertu de sa rapidité à la course, et une tortue. Comme dans la fable, la tortue part la première et atteint un point que nous appellerons A. Achille décide alors de la rattraper. Le temps qu'il arrive en A, la tortue aura avancé et se trouvera en un point B. Quand Achille atteint ce point B, la tortue a encore avancé (un peu moins bien sûr) et se trouve au point C et ainsi à l'infini. Achille ne rattrapera donc jamais la tortue.

Troisième paradoxe : un archer décoche une flèche. Certes la flèche semble voler. Cependant à chaque instant elle est immobile. Or le mouvement ne peut résulter d'une somme d'immobilités.

Quatrième paradoxe : imaginons deux bateaux qui démarrent à vitesse égale de chaque extrémité d'un bassin, l'un dans un sens, l'autre en sens contraire. Un observateur se situe sur le bord, à l'exact milieu du bassin. Les deux bateaux se croisent. À cet instant, celui qui est à l'intérieur d'un des bateaux a l'impression que l'autre bateau se déplace deux fois plus vite que ne le pense l'observateur situé au bord. Zénon en conclut que si le mouvement dépend de celui qui l'observe, il n'existe pas.

Le dernier de ces paradoxes sera réfuté par Galilée qui montrera que le mouvement n'a justement de sens que si on précise par rapport à quoi on le décrit. Ainsi dire que la terre est en mouvement par rapport au soleil n'est pas plus vrai que de dire que le soleil est en mouvement par rapport à la terre : tout dépend de ce qu'on prend comme repère du mouvement (ici soit le soleil, soit la terre).
Les trois premiers paradoxes se résolvent mathématiquement par l'introduction du calcul infinitésimal (inventé par Leibnitz).
Or aussi bien la théorie de Galilée que le calcul mathématique fondé sur la notion d'infini ne remontent qu'au XVII° siècle. À l'époque où Zénon énonce ses paradoxes, ils sont bien irréfutables.

ben qu'est-ce que j'ai encore fait moi ?